martes, 6 de diciembre de 2011

Asíntotas Horizontales

Asíntotas Horizontales

R(x)= AnX^n + An-1X^n-1... A1X + A0 / bmX^n + bm-1X^m-1... b1X + b0

* Las asíntotas horizontales se obtienen:

a) Si n < m, entonces R tiene asíntota horizontal y = 0
b) Si n = m, entonces R tiene asíntota horizontal y = An/bm
c) Si n > m, entoinces R no tiene asíntota horizontal, tiene asíntota oblicua.

sábado, 3 de diciembre de 2011

Funciones Racionales

Funciones Racionales
 Una función racional es una función en la forma  r(x) = p(x) / q(x) ; donde q(x) 0
Ejemplo:


Asíntotas Verticales, horizontales y oblicuas
Asíntota Vertical
  Ejemplo:
h(x) = 1 / (x+2)


Ejemplo:
f(x)= 2 / (X^2-4)




viernes, 2 de diciembre de 2011

Biografias

Carl F. Gauss

Junto a Arquímedes y Newton, Gauss es sin duda uno de los tres genios de la historia de las Matemáticas. Sus aportaciones en todos los campos matemáticos fueron increíbles, aunque algunos de sus descubrimientos tuvieran que esperar más de un siglo para ser valorados debidamente. Las aportaciones de Gauss en todos los campos de la Matemática son inestimables: Teoría de números, Astronomía, Magnetismo, Geometría, Análisis... Cualquier gran descubrimiento matemático a lo largo de este siglo encuentra detrás la alargada sombra de Gauss.

Nació en Brunswic el 30 de abril de 1777, era de familia humilde. Su padre se opuso siempre a que su hijo tuviera una educación adecuada a sus posibilidades. Sin embargo, cuando su padre murió en 1806, Gauss ya había realizado una obra inmortal. En el lado opuesto, su madre Dorothea Benz y el hermano de ésta, Friedrich, fueron fundamentales en la educación y posterior carrera del genio. El apoyo de su madre y tío pudieron con la intención de su padre de mantener a Gauss en la ignorancia. Tan grande fue el cariño que Gauss sintió por su madre que se ocupó de ella los últimos 20 años de la vida de ésta despreocupándose de su fama y carrera.

A los siete años ingresó en su primera escuela, dirigida por un tal Büttner, personaje que no destacaba precisamente por sus dotes pedagógicos. De esta época se cuenta que a los 10 años, cuando fue admitido en la clase de aritmética, sorprendió a todos por la rapidez y procedimiento seguido en la resolución de un problema del tipo "Halla la suma de los 100 primeros números enteros". Gauss agrupó los números en 50 parejas de números que sumaban 101. La sorpresa de Büttner fue tal, que de su propio bolsillo, regaló al joven el mejor texto asequible de Matemáticas. La casualidad hizo que el joven ayudante de su maestro, Johann Martín Bartel, fuera también un apasionado de las matemáticas. Ambos pasaron muchas horas juntos estudiando, ayudándose en las dificultades y ampliando demostraciones. En esta época se producen sus primeros trabajos sobre el teorema del binomio.

Las contribuciones de Gauss a las matemáticas van desde la más pura teoría de números hasta los problemas prácticos de astronomía, magnetismo y topografía. Realizó grandes aportaciones en todas las ramas de las matemáticas en las que trabajó. Llegó a publicar alrededor de 155 títulos, sin embargo se caracterizó por no presentar los trabajos que no creyera haber pulido hasta la perfección.





Leonhard Euler

Leonhard Euler fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea en 1707 y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733.

En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.

En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada.

Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770). Euler tenía una memoria prodigiosa; recordaba las potencias, hasta la sexta, de los 100 primeros números primos. Realizaba cálculos mentalmente que otros matemáticos realizaban con dificultad sobre el papel.

La productividad matemática de Euler fue extraordinaria. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas: Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler. A pesar de todo esto se casó y tuvo trece hijos, estando siempre atento al bienestar de familia; educó a sus hijos y nietos. Murió el 7 de septiembre de 1783.


Evariste Galois





Matemático francés. Hijo de una familia de políticos y juristas, fue educado por sus padres hasta los doce años, momento en el que ingresó en el Collège Royal de Louis-le-Grand, donde enseguida mostró unas extraordinarias aptitudes para las matemáticas. Con sólo dieciséis años, interesado en hallar las condiciones necesarias para definir si una ecuación algebraica era susceptible de ser resuelta por el método de los radicales, empezó a esbozar lo que más adelante se conocería con el nombre genérico de teoría de Galois, analizando todas las permutaciones posibles de las raíces de una ecuación que cumplieran unas condiciones determinadas.

Mediante dicho proceso, que en terminología actual equivale al de hallar el grupo de automorfismos de un cuerpo, sentó las bases de la moderna teoría de grupos, una de las ramas más importantes del álgebra. Galois intuyó que la solubilidad mediante radicales estaba sujeta a la solubilidad del grupo de automorfismos relacionados.

A pesar de sus revolucionarios descubrimientos, o tal vez por esa misma causa, todas las memorias que publicó con sus resultados fueron rechazadas por la Academia de las Ciencias, algunas de ellas por matemáticos tan eminentes como Cauchy, Fourier o Poisson. Subsiguientes intentos de entrar en la Escuela Politécnica se saldaron con sendos fracasos, lo cual le sumió en una profunda crisis personal, agravada en 1829 por el suicidio de su padre.

Miembro activo de la oposición antimonárquica, se vio implicado en un duelo cuyas motivaciones aún hoy permanecen confusas. Previendo su más que posible muerte en el lance, trabajó febrilmente en una especie de testamento científico que dirigió a su amigo Auguste Chevalier. A los pocos días tuvo lugar el duelo y el matemático, herido en el vientre, murió unas horas después, apenas cumplidos los veintiún años.






Ceros Complejos y el teorema fundamental del algebra

Teorema Fundamental del algebra:

Todo polinomio:

P(x):anX^n+Aa n-1X^n-1+......a1X+A0
donde:n≥1 ,An ≠0

Teorema de la factorizacion completa:

Si P(x) es un polinomio de grado n
≥1, entonces existen numeros complejos a,c1,c2...Cn con a ≠0 tal que:

Ej.#1
f(x)=
x^3+x^2+9x+9
f(x)=(x^3+x^2)+(9x+9)
=x^2(x+1)+9(x+1)
=(x+1)(x^2+9)
f(x)=(x+1)(x+3i)(x-3i)
x1=-1

x^2+9=0 x1=-1
√(x^2)=
∓√(-9)

x2=3i=>x-3i
x3=-3i=>x+3i

x1=-1
x2=3i
x3=-3i


Para sacar el polinomio:
f(x)=(x+1)(x^22-(3i)^2)
(x+1)(x^2-9(-1))
(x+1)(x^2+9)=x^3+9x+x^2+9
=x^3+x^2+9x+9


jueves, 1 de diciembre de 2011

Teorema de ceros conjugados

16 de nov. de 2011

Si el polinomio P tiene coeficientes reales, y si el número complejo z es un cero de P, entonces su complejo conjugado z es también un cero de P.

Ej. Escribe un polinomio de grado 3 cuyos ceros son: 1, -5, 6

X=1 (x-1) X=-5 (x+5) X=6 (x-6)

f(x)= (x-1)(x+5)(x-6)

f(x)= (x^2+4x-5)(x-6)

f(x)= x^3-6x^2+4x^2-24x-5x+30

f(x)= x^3-2x^2-29x+30





martes, 29 de noviembre de 2011

Regla de los Signos de Descartes

Regla de los Signos de Descartes

- El numero de ceros reales positivos es igual al numero de variaciones en el signo de los coeficientes diferentes de cero de f(x).
*Ej:
x^3 + x^2 - 10^x + 8 2 positivos
- El numero de ceros reales es igual al numero de variaciones en signos de los coeficientes diferentes de cero de f (-x).
*Ej:
-x^3 + x^2 + 10x + 8 1 negativo

p/q = factores del ultimo termino/ factores del primer termino

*Los posibles ceros de la función son: +,- ; 1; 2; 3; 4; 8

Sea P un polinomio con coeficientes reales:
- Si se divide P(x) entre x-b ( con b > 0 ) por medio de la división sintética y el residuo es cero, entonces b es un cero de la función.

*Los ceros de la función son: 1, 2, -4

martes, 22 de noviembre de 2011

Funciones Polinomiales

                                                                 Funciones Polinomiales
                                      -Teorema de la factorización completa -

 Si p(x) es un polinomio de grado n>0, entonces existen números complejos:



Tal que:


Estos ceros no necesitan o tienen que ser distintos. Si el factor x – c aparece K veces en la factorización completa del polinomio p(x), decimos que C es un cero de multiplicidad K

Ejemplo1: 

Ejemplo 2: Un polinomio con factores 3, 2, 1 de multiplicidad 3




                                                                          Proceso para graficar
-Para cada función polinomial-
a. Halle las raíces (cortes en x) reales
b.  Halle el intercepto en y
c. Determine los intervalos donde la gráfica esta sobre el eje de x.
d. Determine loa intervalos donde la gráfica esta debajo del eje de x.
e. Trace un bosquejo de la gráfica de f.

                                                                            Práctica:






domingo, 20 de noviembre de 2011

Funciones Polinomiales

f(x)= AnX^n + An-1X^n-1 + An-2X^n-2 + ... + A0
Donde An, An-1...A, son números reales y n es un entero no negativo. El dominio lo constituyen todos los números reales. Una función polinomial es una cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable.

Ej. 1) f(x)= 3x^4-2x^3+8x^2+7x+1
2) f(x)= -6x^3-2x+1
3) f(x)= x^5-3x^2+1





Ejemplo :

f(x)<0 abajo: (-∞, -1)U(0,1)
f(x) >0 arriba: (-1,0)U(1,∞)




martes, 15 de noviembre de 2011

Funciones Cuadráticas - Forma Estandar

La Forma Estándar de una función cuadrática es f(x) = ax^2 + bx + c , donde "a" no es igual a 0 , la parábola tiene las siguientes propiedades:
* La parábola abre hacia arriba si a < 0 , tendrá un punto mínimo.
* La parábola abre hacia abajo si a > 0 , tendrá un punto máximo.
* El eje de simetría es la recta x = -b/2a..
* El vertice es el punto ( -b/2a , f( -b/2a)).
* El intercepto en y es c.
Ej:
f(x)= -2x^2 - 4x + 2
(-2x^2 -4x) + 2
-2( x^2 + 2x) + 2
-2( x^2 +2x +1 -1) +2
-2( x^2 +2x + 1) +4
f(x)= -2(x + 1)^2 + 4

domingo, 30 de octubre de 2011

Funciones Cuadraticas, Problemas de aplicacion

Hoy estuvimos hablando sobre como aplicar las funciones cuadraticas en problemas de aplicacion.

Ejemplo #1
-Area Maxima

Se quieres construir una verja para cubrir un terreno rectangular que se encuentra al costado de una casa .Se cuenta con un rollo de 1000 m de tela metalica.

a) Cual es el area maxima que podemos cerrar?
Perimetro de un rectangulo
P=2l + 2w
Area de un rectangulo
A=lw

P=2w+l
1000=2w+l
1000-2w=l


A=lw
A=(1000-2w)w
A=1000w-2w^2
w=-b/2a=-1000/2(-2)=-1000/-4=250m

1000-2w=l
1000-2(250)=l
500m=l

A=(500)(250)
A=125,000 m^2

Ejemplo #2

A un tiemoo cero(t=0)un clavadista se impulsa a una velocidad de 16 pies/seg desde una plataforma que se encuentra a una altura de 32 pies sobre el agua. S(t)=-1/2gt^2+Vot+ So

a)Cual es la funcion que define la trayectoria del clavadista?
S(t)=-16t^2+16t+32

b)Cual es la altura maxima que alcanza el clavadista?
S(0.5)=-16(.5)^2+16(.5)+32
S(.5)=36

c)Cuanto tiemo le toma al clavadista alcanzar la altura maxima?
t=-b/2a
=-16/2(-16)
=.5 segundos
d)Cuando el clavadista toca o llega al agua?
0=-16t^2+16t+32
* se usa forma cuadratica
t1=-1
t2=2 segundos

e) A que altura se encontraba el clavadista despues de 1 seg. de haberse lanzado?

S(1)=-16(1)62+16(1)+32
=32 pies

domingo, 23 de octubre de 2011

Funciones Cuadráticas -Forma General-

Forma General:



Importante para resolver una función cuadrática:

1.     Vértice

2.     Eje de simetría

3.     Intercepto en y

4.     Intercepto en x  (discriminante = si tiene un int. o ninguno)

5.     Concavidad (hueco) *a>0 = concavidad hacia arriba ; a<0 concavidad hacia abajo

6.     Tabla de valores

7.     Gráfica 

Ejemplo 1:






Ejemplo 2:







domingo, 16 de octubre de 2011

Función Cuadrática

Una función cuadrática es una función que puede ser escrita en la forma f(x)=a(x-h) ^2 +K (a ǂ 0) –Forma Estándar

La grafica de una función cuadrática tiene forma de U y se conoce como una parábola.

f(x)= ax^2+bx+c –Forma General

Vértice de una parábola

- Si una parábola abre hacia arriba, tiene un punto mínimo. Si abre hacia abajo, tiene un punto máximo.

- Este punto más bajo o más alto es el vértice de la parábola.

- La forma del vértice de una función cuadrática es f(x)=a(x-h) ^2 +K.

- El vértice de la parábola es (h,k).



Escribiendo Funciones Cuadráticas Transformadas

1. La función f(x)=x^2 es reflejada a través del eje de x, estirada verticalmente por un factor de 6 y trasladada 3 unidades a la izquierda para crear g.

2. La función f(x)=x^2 es comprimido verticalmente por un factor de 1/3 y trasladada 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo para crear g.

Eje de Simetría

El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de una parábola que divide la parábola en dos mitades congruentes.

La función cuadrática f(x)=a(x-h)^2+k tiene el eje de simetría x=h.

Método de Completar el Cuadrado

A) f(x)= x^2+2x-8

=(x^2+2x)-8

=(x^2+2x+1-1)-8

=(x^2+2x+1)-8-1

f(x)=(x+1)^2-9

V=(-1,-9)


B) Eje de simetria x=-1


C) Intercepto en y (x=0)

f(x)= (x+1)^2-9

y= (0+1)^2-9

y= 1-9

y=-8

(0,-8)


D) Intercepto en x

0=(x+1) ^2-9

±√9=(x+1)^2

±3=x+1

1±3=x

X1=2 ----- (2, 0)

X2=-4 ------ (-4, 0)


E) Concavidad: a>0 U


F) Tabla de Valores

x

f(x)

-5

7

-4

0

-3

-5

-2

-8

-1

-9

0

-8

1

-5

2

0

3

7







G) Gráfica